Productos notables y factorización.

Operaciones básicas

Sumas y restas de polinomios

Para sumar polinomios debes seguir las reglas que usas para sumar monomios: solo puedes sumar y/o restar términos semejantes. Considera que cuando restas, cambias el signo de cada uno de los monomios del polinomio que estás restando. Mira los siguientes ejemplos:

La suma se realiza de la siguiente forma:

Compara con la resta. En el segundo paso la resta hizo que los monomios del polinomio q(x) cambiaran de signo. Después sólo se suman/restan términos semejantes:

Multiplicación de polinomios

A diferencia de las sumas y restas, cualesquiera dos monomios pueden ser multiplicados. Por ejemplo:

Cuando quieres multiplicar polinomios, debes multiplicar monomio con monomio. La mejor manera para no olvidar ninguna combinación, es acomodar los polinomios uno debajo del otro y hacer la multiplicación como la que haces con los números enteros de varias cifras. Por ejemplo:

Productos Notables

¿Cómo entender los productos notables?

  • ¿Qué es un producto notable?
    Es un modelo de multiplicación o producto. Sigue una regla fija que depende de lo que estés multiplicando.
  • ¿Para qué nos sirve un producto notable?
    Para multiplicar y factorizar más rápido.
  • ¿Cuántos hay?
    Hay muchos pero los mas usados son: factor común, binomio al cuadrado, trinomio al cuadrado, binomios conjugados y productos con término común.

Factor común (Ley distributiva)

Esta regla es tal vez la que es más común. También es conocida como la ley de la distributividad del producto sobre la suma. Observa el modelo:

ley distributiva produtos notables

Lee con atención el siguiente ejemplo. Fíjate muy bien cómo se multiplican los coeficientes y cómo se multiplican las literales.

factor comun productos notables

Binomio al cuadrado

Elevar algo al cuadrado es lo mismo que multiplicarlo con él mismo. Con esta regla puedes elevar una suma o resta al cuadrado de forma rápida. Observa el modelo:

Ejemplo 1.

binomio al cuadrado ejemplos

Ejemplo 2.

binomio al cuadrado ejemplos

Binomio al cubo

Ahora estarás multiplicando un producto consigo mismo tres veces. Observa el modelo y compáralo con el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1

binomio al cubo ejemplos

Producto con un término común

Cuando quieres multiplicar dos binomios que tienen un término en común, esta es la regla que debes de seguir, observa los lugares en donde debes de poner el término en común.

Producto con un término común

Ejemplo 1

Factorización

¿Qué es factorizar?

Factorizar quiere decir encontrar los factores de un número. Por ejemplo, la factorización de 15 es (3)(5), pues 15=(3)(5). Para factorizar te debes aprender muy bien las reglas de los productos notables. Por ejemplo, la siguiente factorización está hecha con la regla del término común:

Las factorizaciones no son únicas, por ejemplo, 20=(4)(5) pero 20=(10)(2). En general, siempre vamos a buscar factorizar hasta hacer que los términos ya no sean factorizables, por ejemplo, 20=(2)(2)(5). Observa el siguiente ejemplo el cual está hecho con la regla del término común:

Ejemplo de factorización usando el binomio al cuadrado:


Imagina que quieres factorizar el siguiente polinomio:

primero tienes que reconocer el patrón. Reescribiendo los términos tenemos que el polinomio anterior es igual al siguiente:

en donde se puede observar que el primer y último término están al cuadrado mientras que el término de en medio tiene un dos. Así, llegamos a que: