Sistemas de ecuaciones lineales

Planteamiento de ecuaciones

Cómo plantear ecuaciones

Uno de los grandes retos en este tema es aprender a escribir matemáticamente algunos enunciados.
Te presentamos algunos de los ejemplos más básicos:

Ejemplo 1

La suma de dos número es 14. Si el primero menos el segundo es igual a 40, ¿cuáles son esos números?

Cada pedazo de información en el problema nos ayuda a plantear el sistema de ecuaciones. Primero, veamos la oración
La suma de dos números es 14“:

Ahora, “el primero menos el segundo es igual a 40”

Estas ecuaciones juntas forman un sistema de ecuaciones lineales en dos incógnitas. La palabra lineal viene de que cada ecuación representa una línea, pero es probable que este tema no lo vayas a estudiar si no hasta la preparatoria. El sistema del ejemplo es el siguiente:

ejemplo de planteamiento de sistemas de ecuaciones

Ejemplo 2

Por una playera y un pantalón pagué 250 pesos. Mi hermano compró dos playeras y un pantalón del mismo precio que yo y pagó 300. ¿Cuál es el precio de cada playera y cada pantalón?

Primero escribimos la oración, “por una playera y un pantalón pagué 250 pesos”:

en este caso, “x” representa el precio de las playeras y “y” el precio del pantalón. Ahora vamos a escribir: “mi hermano compró dos playeras y un pantalón del mismo precio que yo y pagó 300”:

Estas ecuaciones forman el sistema:

Recuerda que en un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y dos incógnitas, debes encontrar el valor de las DOS incógnitas. Para solucionarlos, existen varios métodos. Aquí te presentamos dos: por sustitución y por suma y resta.

Solución por sustitución

Método por sustitución

El objetivo es encontrar el valor de las dos incógnitas. En general el procedimiento es el siguiente.

  1. Numera las ecuaciones. Esto es para saber cuál va a a ser “la primera” y cuál va a ser la “segunda”.
  2. Despeja “x” en la primer ecuación.
  3. Sustituye el valor encontrado de “x” en el paso anterior en la segunda ecuación.
  4. Encuentra el valor de “y” en la ecuación hecha en el paso anterior.
  5. Sustituye el valor encontrado en el paso anterior en la primer ecuación.
  6. Encuentra el valor de “x” en la ecuación del paso anterior.
  7. Comprueba sustituyendo el valor encontrado de “x” y “y” en las ecuaciones originales.

Te invitamos a ver los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1 por sustitución

Ejemplo 2 por sustitución

Solución por suma y resta

Este método también se le conoce como método por eliminación. Se trata de multiplicar las dos ecuaciones por ciertos números para que después puedas sumarlas o restarlas y elimines una variable y así obtengas una ecuación de grado uno en una variable. Observa el ejemplo:

Ejemplo: solución por suma y resta

Tenemos el sistema de dos ecuaciones y dos variables:

Localizamos los coeficientes que acompañan a “x” en la primer y segunda ecuación respectivamente:

Multiplicamos por el coeficiente de la primera ecuación a la segunda ecuación y por el coeficiente de la segunda ecuación a la primera:

Observa que debes multiplicar ambos lados de la ecuación. Después debes hacer las respectivas multiplicaciones:

Ahora, multiplicas por -1 ambos lados a la segunda ecuación que obtuviste:

El siguiente paso es sumar ambas ecuaciones. Puedes imaginar columnas y hacerlo de la siguiente manera:

En este último paso, hemos llegado a la ecuación de primer grado en la variable “y” y lo que sigue es resolverla. Como -8 es el coeficiente de “y”, debes dividir ambos lados de la ecuación entre -8:

Haciendo las divisiones llegas al valor de “y”:

Lo que falta es sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales. Obtendrás una ecuación de primer grado en la variable “x” que deberás resolver para encontrar el valor de “x”.

Ejemplos de problemas con sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo de problemas con sistemas de ecuaciones lineales

El perímetro de un rectángulo es de 24 centímetros. Si el largo es el doble del ancho, ¿cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo?

Considerando que las cantidades desconocidas son el largo y el ancho, en vez de escribir largo escribiremos “x” y en vez de escribir ancho, escribiremos “y”. El primer paso es traducir la oración a lenguaje matemático. La primer parte del problema: “el perímetro de un rectángulo es de 24 centímetros” lo escribiremos así:

La segunda parte del problema dice que “el largo es el doble del ancho”:

Así, tenemos el sistema:

pero observa que si movemos las ecuaciones de orden, nos ahorramos un paso (¿Ya sabes cuál paso?):

Ahora, como ya sabemos cuánto vale “x” en dependencia de “y”, vamos a sustituir en la segunda ecuación, hacemos las multiplicaciones que debamos hacer y juntamos términos semejantes:

Hemos obtenido una ecuación de primer grado en la variable “y”. Lo que falta es dividir de ambos lados de la ecuación entre 6 para obtener el valor de “y”:

y así obtenemos el valor de “y”:

Lo único que nos falta ahora es sustituir en la primer ecuación el valor encontrado para “y” para encontrar el valor de “x”:

Finalmente, llegamos a que la solución del sistema es x=4 y y=8. Por lo tanto, el rectángulo tiene largo 8cm y ancho 4 cm.