Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes

Perímetros

¿Qué es un perímetro?

El perímetro es una la línea que define el contorno de una figura. En un perímetro no nos importa qué tan ancha es esa línea, sólo nos interesa su longitud. En general, para obtener el perímetro de una figura debes sumar las longitudes de los lados que la forman.

Perímetro del triángulo

Para obtener el perímetro de cualquier triángulo, debes saber cuánto mide cada uno de sus lados.

Ejercicio resuelto del perímetro de un triángulo

  1. En el siguiente triángulo sabes que el segmento AB mide 3 cm y su hipotenusa mide 5 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
    Solución: debes utilizar el teorema de Pitágoras para obtener la medida del segmento BC.
    Por lo tanto, el perímetro del triángulo será 3+4+5=12 cm².


  2. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero si cada uno de sus lados mide 3.789 cm?
    Solución: El perímetro será igual a la suma 3.79+3.79+3.79=3x(3.79)=11.37 cm.

Perímetro del cuadrado

Para calcular el perímetro de un cuadrado, debes saber cuál es la medida de cada uno de sus lados.

Ejercicio resuelto del perímetro de un cuadrado

  1. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado si cada uno de sus lados mide 1/4 cm?
    Solución: 1/4+1/4+1/4+1/4=1
    Por lo tanto, el perímetro del cuadrado será 1 cm².


  2. ¿Cuál es el área de un cuadrado si su diagonal √2?
    Solución: El área será igual a √2+√2+√2+√2=4√2≈5.66.

Perímetro del polígono

En general, hacer el cálculo del perímetro de un polígono debes sumar la medida de cada uno de sus lados. Sea

Ejercicio resuelto del perímetro de un polígono

  1. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono si cada uno de sus lados mide 1/6 cm?
    Solución: Tenemos que 0.34+0.34+0.34+0.34+0.34+0.34=2.04. Por lo tanto, el perímetro de un hexágono regular cuyos lados miden 0.34cm, es 2.04cm.


  2. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

    Solución: debes sumar 0.59+0.5+0.34+0.27+0.38.
  3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

    Solución:El triángulo de arriba es equilátero, por lo que sus lados miden 5.69 unidades. Como el polígono de abajo es un cuadrado, cada uno de sus lados miden 5.69 unidades. Por lo tanto tenemos que sumar 6 lados de 5.69 cm. El resultado es 34.14 cm.

Perímetro del círculo

Al perímetro de un círculo también se le llama circunferencia. Para calcularlo no puedes sumar la medida de sus lados, (¿por qué?) pero puedes seguir esta fórmula:

donde r es la medida del radio del círculo.

Ejercicios resueltos del perímetro de un círculo

  1. Calcula la circunferencia del círculo con radio 1.
    Solución: Debes sustituir r=1 en la fórmula de la circunferencia. Por lo tanto la circunferencia (o perímetro) del círculo de radio 1, es 2π.

  2. Calcula el perímetro del medio círculo con un diámetro igual a 5.
    Solución: Primero debes calcular el perímetro del arco (en la figura es de color azul). Luego debes calcular la medida del lado recto (en la figura es de color rosa). Finalmente sumas estas cantidades:
    Arco azul mide: 2πr/2=2π(2.5)/2=5π/2=2.5π.
    Segmento rosa= 5
    Perímetro total=5+2.5π≈12.854 unidades.

Áreas

¿Qué es él área de una figura plana?

Es la cantidad de espacio limitada por el perímetro de una figura.

El área de una figura plana debe darse en unidades cuadradas. Por ejemplo, si las unidades son cm, la respuesta será dada en cm². Si las unidades son millas, el área estará dada en mi².

Cálculo del área de un triángulo

Para calcular el área de un triángulo debes de tener los siguientes datos:

  • la medida de la base del triángulo y
  • la medida de la altura del triángulo que es perpendicular a la base.

La fórmula para determinar el área de un triángulo será:

Ejercicios resueltos de áreas del triángulo

  1. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base es de 4cm y altura es 1.9cm?
    Solución: 3.8cm².


  2. ¿ Cuál es el área de la siguiente figura?



    Solución: hay que sumar el área de los dos triángulos. El área del triángulo de arriba ya lo hemos calculado, y el área del triángulo rectángulo isósceles es de 8 cm². Por lo tanto, la solución es (3.8+8)cm²

Cálculo del área de un cuadrado

El cálculo del área de un cuadrado es muy fácil, solamente debes de elevar al cuadrado la medida de uno de sus lados.

Ejercicios resueltos de áreas de cuadrados

  1. ¿Cuál es el área de un cuadrado si cada uno de sus lados miden 3.41 cm?



    Solución: Debes multiplicar 3.41×3.41=3.41²=11.6281cm².

  2. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuya diagonal mide 2 cm?
    Pista para la solución: utilizando el teorema de Pitágoras debes calcular primero la medida de sus lados.

Cálculo del área de un círculo

La fórmula para calcular el área de un círculo es:

En la fórmula anterior debes sustituir el valor del radio del círculo. Por lo tanto, el único dato que debes de tener del círculo es su radio.

Ejercicios resueltos de áreas de un círculo

  1. ¿Cuál es el área de un círculo si su radio mide 1cm?



    Solución: el área del círculo es π(1)²=π.

  2. Calcula el área del medio círculo con un diámetro igual a 5.



    Solución: π(2.5)²=19.635cm².

  3. Calcula el área de la siguiente figura: los arcos rosas son semicírculos de radio 20.16 y los ángulos OPQ=PRQ=ROP=90°.


    Solución: El área de los semicírculos es π(20.16)²=1283.16013cm² y el área del cuadrado es de 406.4256cm². Por lo que el área de la figura será: 1689.58573cm²

Volúmenes

¿Qué es el volumen de un cuerpo geométrico?

El volumen de un cuerpo geométrico es la cantidad de espacio tridimensional que está dentro de un cuerpo geométrico y está delimitado por el mismo.

El volumen de cualquier cuerpo geométrico debe darse en unidades cúbicas. Por ejemplo, si las unidades son cm, la respuesta será dada en cm³. Si las unidades son millas, el área estará dada en mi³.

Prisma rectangular

Los primas rectangulares son cuerpos geométricos que pertenecen a la familia de los poliedros. Puedes reconocerlos por las siguientes caracteríticas:

  • Tienen dos caras iguales y paralelas. A estas las llamamos bases. Estas bases pueden tener la forma de un cuadrado o rectángulo.
  • Tienen cuatro caras laterales cuya forma es un rectángulo o cuadrado.

Los cubos y los cubos rectangulares son primas rectangulares.

La fórmula para encontrar el volumen de un prima rectangular es:

(área de la base) x altura.

Ejercicios resueltos de volumen del prisma rectangular

  1. Calcula el volumen del siguiente cubo:

    Solución: el área de la base es 4cmx8cm=32cm². Ahora debemos multiplicar 32cm²x4cm. Por lo tanto, el volumen es de 128cm³.

Cilindro

Para calcular el volumen de un cilindro necesitas saber el radio del círculo que es base cilindro y la altura del mismo. Así, el volumen del cilindro será igual a

(área del círculo de la base) x altura.

Partes que describen a un cilindro.

Ejercicios resueltos de volumen de un cilindro

  1. Calcula el volumen del siguiente cilindro:

    Solución: el área del círculo de la base es 𝝅(3cm)² =9.4248cm². Ahora debemos multiplicar 9.4248cm²x4.5cm=42.4116cm³ . Por lo tanto, el volumen es de 128cm³.