Semejanza y congruencia de triángulos

Congruencia

¿Qué quiere decir que dos triángulos sean congruentes?

Definición de congruencia:

Dos triángulos son congruentes si son exactamente iguales. Tal vez no estén en la misma orientación, pero si dos triángulos son congruentes y pusieras uno sobre otro, no sobresale ninguna parte del triángulo que quede abajo.

Ejemplos.

Ejemplo 1: Congruencia de triángulos

En la siguiente figura puedes ver dos triángulos congruentes. Observa que sus lados y sus ángulos miden lo mismo.

Ejemplo de dos triángulos congruentes. Lados correspondientes iguales.
Los dos triángulos son congruentes.

A los lados que miden igual y cuyos ángulos también miden igual, les decimos lados correspondientes, por ejemplo, en la figura de arriba BA es el lado correspondiente a ED. Decimos que dos ángulos son correspondientes si es formado por los mismos lados correspondientes. En la figura, el ángulo BCA es correspondiente al ángulo EFD pues el lado BC y EF son correspondientes así como el lado CA y FD.

Ejemplo 2: No Congruencia.

Observa la siguiente figura:

Ejemplo de triángulos no congruentes con lados del mismo largo

A pesar de que los triángulos AGC y FED tienen dos lados que miden lo mismo, el tercer lado, y por consecuencia todos los ángulos internos, son diferentes. Por lo tanto éstos triángulos no son congruentes.

Criterios de congruencia

¿Qué es un criterio de congruencia?

Para determinar cuándo dos triángulos son congruentes no es necesario que compares los tres lados y los tres ángulos. Basta que conozcas pocos datos en ambos triángulos para que sepas cuando dos triángulos con congruentes. 

Un criterio de congruencia es una regla que te dice cuáles datos son los mínimos necesarios en cada triángulo para deducir si son iguales o no. El significado de la palabra congruencia en matemáticas es parecido al significado de la palabra igualdad. A los criterios de congruencia también se les conoce por el nombre de postulados de congruencia, teoremas de congruencia, casos de congruencia o reglas de congruencia. Existen 4 criterios de congruencia para triángulos.

Primer criterio

Criterio de dos ángulos y un lado.
(También conocido como ALA o AAL)

Este criterio dice que necesitas un ángulo, un lado adyacente a ese ángulo y un ángulo adyacente a ese lado, en ambos triángulos para deducir que los triángulos son congruentes. 

Ejemplo de congruencia por el criterio ALA

Imagina que necesitas comparar los triángulos ABC y FED . Tienes la siguiente información:

  • el ángulo CAB mide 66.41 grados.
  • el lado AB mide 5.2 cm,
  • el ángulo ABC mide 44.62 grados y
  • el ángulo C1A1B1 mide 66.41 grados,
  • el lado A1B1 mide 5.2 cm,
  • el ángulo A1B1C1 mide 44.62 grados.

Esta información la puedes ver en la siguiente figura:

Ejemplo de criterio ALA para triángulos congruentes.

Siguiendo el criterio ALA, puedes concluir que los triángulos son iguales. Esto quiere decir que los ángulos y lados correspondientes miden lo mismo. En este caso:

  • El lado BC es correspondiente al lado B1C1, por lo que miden lo mismo.  
  • El lado CA es correspondiente al lado C1A1, por lo que miden lo mismo. y
  • El ángulo BCA es correspondiente al ángulo B1C1A1, por lo que miden lo mismo.

Ejemplo de congruencia por el criterio AAL

El criterio nos dice que dos triángulos son congruentes si hay dos ángulos  y un lado iguales. La siguiente figura muestra este escenario:

Ejemplo de criterio AAL para congruencia de triángulos

Como ya sabemos que los triángulos son congruentes, podemos asegurar que:

  • Los lados PM y FD miden lo mismo.
  • Los lados CD y NM miden lo mismo.
  • El ángulo NPM y CFD miden lo mismo.

Ejercicio resuelto

El punto P es el punto medio del segmento AB  y los ángulos PAC y PBD son rectos, si BD mide 34 cm, ¿cuánto mide AC?

Ejercicios resueltos congruencia de triángulos

Solución: El segmento AC mide 34 cm.  Los ángulos APC y DPB son son opuestos por el vértice por lo que miden lo mismo. Si P es punto medio del segmento AB, el segmento AP y PB también miden lo mismo. Así, usando el criterio de congruencia ALA, tenemos que los triángulos PAC y PBD son congruentes. Los lados BD y AC son correspondientes, por lo tanto miden lo mismo.

Segundo criterio

Criterio lado, ángulo, lado.

(También conocido como LAL)

Este criterio indica que para saber si dos triángulos son iguales, basta con comparar un lado, un ángulo adyacente a este ángulo y un lado adyacente a este ángulo.

Ejemplo de congruencia por el criterio LAL 

Los siguientes triángulos son congruentes pues ambos tienen un lado que mide 10 unidades, un ángulo adyacente a este lado que mide en ambos triángulos 117.28° y enseguida ambos tienen un lado que mide 5 unidades. Como conclusión podemos decir con seguridad que el segmento ML mide lo mismo que el segmento JH y así como los los ángulos KML y GJH y los ángulos MLK y JHG.

Ejemplos de congruencia de triángulos por el criterio LAL.

Ejercicio resuelto 

El punto S es el punto medio del segmento PQ. Si el ángulo QSR es recto, ¿es cierto que el segmento PR es igual al segmento RQ?

Solución: Sí es cierto que el segmento PR sea igual al segmento RQ. Esto lo podemos comprobar pues los triángulos SPR y QSR son congruentes ya que PS=SQ, el ángulo formado por PSR mide 90 grados y ambos triángulos comparten el lado SR. Con esta información podemos usar el criterio LAL para concluir que los triángulos son equivalentes y los segmentos RP y RQ son lados correspondientes.

Tercer criterio

Criterio por lados

(También conocido como criterio LLL)

Este criterio o postulado de congruencia, nos indica que si tenemos que dos triángulos tienen lados correspondientes iguales, entonces los ángulos correspondientes de los triángulos también son los mismos.

Observa los siguientes triángulos:

ejemplo de porqué hace falta que todos los lados sean iguales para garantizar la congruencia de dos triangulos.

Ejercicios resueltos

¿Es cierto que los triángulos AZW y AWB tienen los mismos ángulos correspondientes?

ejercicios resueltos criterio LLL congruencia triángulos

Solución: Sí. Ambos triángulos se componen de lados con las mismas medidas, por lo que usando el criterio LLL de congruencia de triángulos tenemos que ambos triángulos son iguales y por lo tanto los ángulos correspondientes también son los mismos.

Cuarto criterio

Criterio por dos lados y un ángulo.

(También conocido como criterio LLA)

Con este criterio puedes asegurar que dos triángulos son congruentes si tienes que los triángulos tienen dos lados correspondientes iguales y un ángulo. Observa la siguiente figura:

por qué es necesario el el criterio LLA para congruencia de triángulos

Si tienes solamente dos segmentos, por ejemplo, uno que mide 20 cm y otro que mide 15, dejas fijo uno, y mueves el otro para construir un triángulo con estos segmentos, te puedes dar cuenta que el segundo segmento lo puedes poner de muchas formas. Los segmentos AC1, AC2 y AC3 muestran este escenario. Sin embargo, si tienes el ángulo que debe estar en el punto B, solamente hay una forma posible de acomodar el segmento de 15 cm:

Un ángulo es necesario para el criterio LLA de triángulos

Por lo anterior, sólo existe un triángulo que tenga esas características: dos segmento dado y un ángulo.

Semejanza

¿Qué es la semejanza de dos triángulos?

Una forma de explicar la semejanza de triángulos es la siguiente: dos triángulos son semejantes si uno es “el zoom” del otro. Es decir, si haces más grande el triángulo más chico, y quizá rotarlo, puedes llegar a tener un triángulo igual al grande.

Dos triángulos serán semejantes si tienen los mismos ángulos correspondientes y los lados (correspondientes) están en la misma proporción uno con otro.

Si dos triángulos son congruentes, tienen los mismos ángulos correspondientes iguales, por lo tanto, también son congruentes.

Ejemplos

Ejemplo de semejanza de dos triángulos

En la siguiente figura las líneas AB y CD son paralelas. Observa los triángulos HEK y JGE.

Rectas paralelas y triángulos semejantes
Triángulo HEK
Rectas paralelas y triángulos semejantes
Triángulo JGE

Usando la propiedad 3 de los ángulos y rectas, tenemos que los ángulos KHE y jGE miden lo mismo. Por la misma razón, el ángulo GJE y HKE son iguales. Ahora, ambos triángulos comparten el ángulo HEK y GEJ. Por lo tanto, ambos triángulos son semejantes.

Ambos triángulos comparten el ángulo que se abre en el vértice E.

Criterios de semejanza

¿Qué es un criterio de semejanza?

Como en el caso de la congruencia de triángulos, un criterio de semejanza sirve para comparar dos triángulos sin tener que comparar todas sus partes.

Primer criterio de semejanza

Criterio de dos ángulos

(También conocido como AA)

Este criterio es muy fácil de entender. Sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180°. Por lo tanto, si conocemos el ángulo 1, y el ángulo 2, tenemos la siguiente ecuación de primer grado:

ángulo 1 + ángulo 2 + ángulo 3 = 180.

Ejercicio resuelto

En la siguiente figura los ángulos rosas miden lo mismo y el ángulo RNQ mide 90 grados.
¿Es cierto que los triángulos NQL y NQR son semejantes?

ejercicios resueltos de semejanza de triangulos

Solución: el enunciado nos indica que el ángulo RNQ mide 90 grados por lo que el ángulo QNL también. Usando que la suma de ángulos internos de un triángulo nos tiene que dar 180 grados, (o bien, el criterio AA) tenemos que los ángulos NQL y NRQ miden lo mismo, por lo que los triángulos NQL y NQR son semejantes.

dos triángulos semejantes
Semejanza de triángulos.
Segundo criterio de semejanza

Criterio de lados proporcionales

(También conocido como LLL)

Para utilizar este criterio debes verificar que los tres lados de los triángulos en cuestión estén en la misma proporción. Si resulta cierto, la consecuencia es que los ángulos son iguales.

Ejemplo del criterio LLL

Todos los lados correspondientes de los siguientes triángulos están en proporción. Observa:

Los lados correspondientes están en el mismo color. Fíjate que los lados del triángulo más pequeño son exactamente la mitad de los lados del triángulo grande. Esto quiere decir que están en una relación 1 a 2.Esto también lo puedes escribir como 1:2 (debes revisar el tema de proporciones si es necesario).

Como los lados correspondientes de los dos triángulos están en proporción, los triángulos son semejantes, es decir, sus ángulos internos también miden lo mismo:

Angulos iguales en triángulos semejantes.
Los ángulos correspondientes son iguales.

Ejercicio resuelto del criterio LLL

Da un ejemplo de que dos triángulos con dos lados en proporción, no necesariamente son semejantes.

Solución: observa la siguiente figura:

Contraejemplo se semejanza LL

Tenemos que hay dos lados en la misma proporción:

AB:DE=2 y CA:FD=2

sin embargo, como el ángulo entre ellos no es el mismo, las proporciones del tercer lado no son las mismas pues:

CB:DE = 8.4:3 = 2.8.

Tercer criterio de semejanza

Criterio de semejanza lado proporcional, ángulo y lado proporcional.

(También conocido como LAL)

En este criterio necesitarás las medidas de dos lados y ver si guardan la misma proporción y el ángulo entre dichos lados.

Ejemplo del criterio LAL

Imagina que tienes los siguientes triángulos con los siguientes datos. Como la proporción HG:K’J es la misma que la proporción KJ:H’G y el ángulo HGH’ es igual al ángulo K’JK , puedes concluir que los triángulos HGH’ y KJK’ son semejantes.

Ejercicios resueltos

En la figura del ejemplo anterior, si el segmento H’H mide 7.76 cm. ¿Cuánto mide el segmento KK’?

Solución: Como los triángulos son semejantes (por el criterio LAL de semejanza) tenemos que los lados correspondientes guardan la misma proporción, es decir: 3=15/5 también debe ser el resultado de dividir 7.76 entre la longitud del segmento KK’. Si llamamos x al segmento buscado, tenemos que la solución la obtenemos de la siguiente manera:

Aplicación de teoremas de semejanza de triángulos

En el primer renglón, hemos escrito la ecuación. En el segundo estamos despejando la variable requerida. Finalmente, al hacer la división conseguimos el resultado buscado.