Teorema de Pitágoras

Enunciado y significado

Catetos

El teorema de Pitágoras nos indica la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo.

¿Qué es un cateto adyacente y un cateto opuesto?

Es muy común que cuando se habla al teorema de Pitágoras, se digan las frases: cateto opuesto o cateto adyacente. Estas frases corren el riesgo de no decirse completas. Para decirlas de forma clara deberíamos decir:

  • Cateto adyacente al ángulo de 90°, y
  • Cateto opuesto al ángulo de 90°.

pero por la frecuencia de uso de este teorema, a veces se da por hecho que todos los alumnos saben a qué se refieren. Empecemos por aclarar que es un cateto adyacente:

  • En un triángulo rectángulo, un cateto adyacente será un cualquier lado del triángulo que toque al ángulo de 90°. Es decir, cada triángulo rectángulo tiene 2 catetos adyacentes. Observa la figura:
  • Por otro lado, el cateto opuesto, será el lado del triángulo rectángulo que no toca al ángulo de 90°. Cada triángulo rectángulo solo tiene un cateto opuesto. Al cateto opuesto también se la llama hipotenusa.
¿qué es un cateto adyacente?
Nombre de los lados de un triángulo rectángulo.

Observación acerca de la hipotenusa:

El cateto opuesto o hipotenusa siempre será de mayor o igual medida que cualesquiera de los dos catetos.

Enunciado del Teorema de Pitágoras

El enunciado dice lo siguiente:

En un triángulo rectángulo, el resultado de elevar al cuadrado el valor de la hipotenusa es igual al resultado obtenido después de elevar al cuadrado la medida de cada cateto opuesto y sumarlos.

Otra forma de escribir lo anterior es la siguiente:

Si ABC representa a un triángulo rectángulo donde el ángulo recto es el ángulo BCA, entonces se cumplirá que

La línea arriba del nombre del segmento indica “la medida del segmento”.

El triángulo rectángulo del enunciado anterior lo puedes visualizar de la siguiente manera:

Si representamos la medida del segmento AB con la letra a, al segmento AC con la letra b y al segmento AB con la letra c, la fórmula del Teorema de Pitágoras la podemos escribir como sigue:

Fórmula del Teorema de Pitágoras

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Cálculo de lados de un triángulo.

¿Cuál es la altura de un triángulo rectángulo si su base mide 40 cm y su diagonal 41 cm?

Solución: como es un triángulo rectángulo podemos aplicar el Teorema de Pitágoras y sabemos que se debe de cumplir la ecuación:

a²+40²=41²

desarrollando esta ecuación y despejando a obtenemos:

Por lo tanto, la respuesta es: la altura es de 9 cm.

Ejercicio 2

Números consecutivos y triángulos rectángulos

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo cuyos lados son números consecutivos?

Solución:

Ejercicio 3

Diagonales de un cuadrado.

¿Cuál es el área de un cuadrado cuya diagonal mide 65cm y tiene altura igual a 16cm?

Tenemos la siguiente figura

Ejemplos resueltos del teorema de pitágoras

por lo tanto, obtenemos la ecuación:

Utiliza tu calculadora para obtener el valor de a.