Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras nos indica la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo.

¿Qué es un cateto adyacente y un cateto opuesto?

Es muy común que cuando se habla al teorema de Pitágoras, se digan las frases: cateto opuesto o cateto adyacente. Estas frases corren el riesgo de no decirse completas. Para decirlas de forma clara deberíamos decir:

• Cateto adyacente al ángulo de 90°, y
• Cateto opuesto al ángulo de 90°.

pero por la frecuencia de uso de este teorema, a veces se da por hecho que todos los alumnos saben a qué se refieren. Empecemos por aclarar que es un cateto adyacente:

• En un triángulo rectángulo, un cateto adyacente será un cualquier lado del triángulo que toque al ángulo de 90°. Es decir, cada triángulo rectángulo tiene 2 catetos adyacentes. Observa la figura:

• Por otro lado, el cateto opuesto, será el lado del triángulo rectángulo que no toca al ángulo de 90°. Cada triángulo rectángulo solo tiene un cateto opuesto. Al cateto opuesto también se la llama hipotenusa.

Observación acerca de la hipotenusa:

El cateto opuesto o hipotenusa siempre será de mayor o igual medida que cualesquiera de los dos catetos.

Enunciado del Teorema de Pitágoras

El enunciado dice lo siguiente:

En un triángulo rectángulo, el resultado de elevar al cuadrado el valor de la hipotenusa es igual al resultado obtenido después de elevar al cuadrado la medida de cada cateto opuesto y sumarlos.

Otra forma de escribir lo anterior es la siguiente:

Si ABC representa a un triángulo rectángulo donde el ángulo recto es el ángulo BCA, entonces se cumplirá que

El triángulo rectángulo del enunciado anterior lo puedes visualizar de la siguiente manera:

Si representamos la medida del segmento AB con la letra a, al segmento AC con la letra b y al segmento AB con la letra c, la fórmula del Teorema de Pitágoras la podemos escribir como sigue:

Cálculo de lados de un triángulo.

¿Cuál es la altura de un triángulo rectángulo si su base mide 40 cm y su diagonal 41 cm?

Solución: como es un triángulo rectángulo podemos aplicar el Teorema de Pitágoras y sabemos que se debe de cumplir la ecuación:

a²+40²=41²

desarrollando esta ecuación y despejando a obtenemos:

Por lo tanto, la respuesta es: la altura es de 9 cm.

Números consecutivos y triángulos rectángulos

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo cuyos lados son números consecutivos?

Solución:

Diagonales de un cuadrado.

¿Cuál es el área de un cuadrado cuya diagonal mide 65cm y tiene altura igual a 16cm?

Tenemos la siguiente figura

por lo tanto, obtenemos la ecuación:

Utiliza tu calculadora para obtener el valor de a.