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Progresiones geométricas

En una progresión geométrica es una sucesión numérica en la que cada término es obtenido a partir de multiplicar el elemento previo por un número fijo diferente de cero, por ejemplo:

Razón de una progresión geométrica

El número por el que vas a multiplicar un término de la sucesión para obtener el siguiente término de la sucesión se le conoce como razón de la progresión geométrica. En el ejemplo anterior, el número 3 es la razón de la progresión geométrica.

En el siguiente ejemplo, la razón de la progresión geométrica 2, 14, 98, 686, es 7:

Observación: en matemáticas, a los términos fijos también los conocemos con el nombre de constantes, por lo que en algunas ocasiones es posible que el término constante de la progresión geométrica, se refiera a la razón de la progresión.

La razón de una progresión geométrica no tiene que ser un número entero, también pueden ser números racionales (es decir fracciones) o números negativos. Observa el siguiente ejemplo.

Raíz (o semilla) de una progresión geométrica

La raíz (o semillas) de una progresión geométrica es el primer término de la sucesión. En la sucesión 2,14, 98, 686 del ejemplo anterior, la raíz es 2. En la sucesión 3, 9, 27, 81, … la raíz es el número 3.
Observa que si dos sucesiones tienen la misma razón pero diferente semilla, las sucesiones cambian totalmente:


Observación: si la raíz de una progresión geométrica es cero, la sucesión obtenida es: 0, 0, 0, etc.

Progresión geométrica creciente

Una progresión geométrica es creciente si la razón de la progresión es un número mayor a 1. De esta manera cada término será mayor al anterior. Por ejemplo, la sucesión numérica 5, 10, 20, 40, etc, es una progresión geométrica creciente ya que la razón es 2.
La razón de la siguiente progresión es igual a 1.01. Observa cómo los números van creciendo:

Progresión geométrica decreciente

Una progresión geométrica es decreciente si la razón de la progresión es un número menor a uno pero mayor a cero. Así, los términos de la progresión serán cada vez menores. Por ejemplo, la progresión geométrica del siguiente ejemplo tiene razón igual a 1/2:

Como puedes observar, los términos van decreciendo, es decir, van haciéndose cada vez menores respecto a los anteriores.

Progresión geométrica alternada

Una progresión geométrica es una sucesión alternada, si su razón o constante es igual a un número menor a cero, es decir, un número negativo. En el siguiente ejemplo, la razón es de -2. Observa que aplicamos las reglas de multiplicación de los signos y esto ocasiona que los términos de la sucesión alternen entre positivo y negativo.

Fórmula para obtener una progresión geométrica

Veamos el siguiente ejemplo para explicar de dónde sacamos la fórmula de las progresión geométrica. Piensa en la progresión geométrica con raíz igual a 2 y razón igual a tres. Los primeros 7 términos de la sucesión serán los siguientes:

ahora escribimos cada término como si fuera producto del término anterior con la razón de la progresión:

Siguiendo las reglas de potencias, y escribiendo la posición que ocupa cada término en la progresión, reescribimos estas igualdades y obtenemos:

Observa la relación que hay entre la posición que ocupa el término y la potencia a la que tienes que elevar la razón de la progresión, por ejemplo: en la cuarta posición, vas a encontrar la razón elevada a la tercera potencia. Así, llegamos a la fórmula:

Escrito de forma más matemática tenemos la siguiente igualdad.

donde an denota al término en la posición n, a0 es la raíz de la progresión geométrica, r es la razón de la progresión. Esta fórmula nos permite dar el término de la progresión de cualquier posición.

Ejercicios resueltos de progresiones geométricas

  • 1) Dada la progresión geométrica {5, 30, 180, 1080}, di cuál es el valor del término que ocupa el lugar número 10.
    Solución: es claro que la razón de la progresión geométrica es 6. Además el valor de la raíz es 5. Así, tenemos que:

por lo que la solución es 50388480.


Quizz: Progresiones geométricas

En una progresión geométrica es una sucesión numérica en la que cada término es obtenido a partir de multiplicar el elemento previo por un número fijo diferente de cero, por ejemplo:

Razón de una progresión geométrica

El número por el que vas a multiplicar un término de la sucesión para obtener el siguiente término de la sucesión se le conoce como razón de la progresión geométrica. En el ejemplo anterior, el número 3 es la razón de la progresión geométrica.

En el siguiente ejemplo, la razón de la progresión geométrica 2, 14, 98, 686, es 7:

Observación: en matemáticas, a los términos fijos también los conocemos con el nombre de constantes, por lo que en algunas ocasiones es posible que el término constante de la progresión geométrica, se refiera a la razón de la progresión.

La razón de una progresión geométrica no tiene que ser un número entero, también pueden ser números racionales (es decir fracciones) o números negativos. Observa el siguiente ejemplo.

Raíz (o semilla) de una progresión geométrica

La raíz (o semillas) de una progresión geométrica es el primer término de la sucesión. En la sucesión 2,14, 98, 686 del ejemplo anterior, la raíz es 2. En la sucesión 3, 9, 27, 81, … la raíz es el número 3.
Observa que si dos sucesiones tienen la misma razón pero diferente semilla, las sucesiones cambian totalmente:


Observación: si la raíz de una progresión geométrica es cero, la sucesión obtenida es: 0, 0, 0, etc.

Progresión geométrica creciente

Una progresión geométrica es creciente si la razón de la progresión es un número mayor a 1. De esta manera cada término será mayor al anterior. Por ejemplo, la sucesión numérica 5, 10, 20, 40, etc, es una progresión geométrica creciente ya que la razón es 2.
La razón de la siguiente progresión es igual a 1.01. Observa cómo los números van creciendo:

Progresión geométrica decreciente

Una progresión geométrica es decreciente si la razón de la progresión es un número menor a uno pero mayor a cero. Así, los términos de la progresión serán cada vez menores. Por ejemplo, la progresión geométrica del siguiente ejemplo tiene razón igual a 1/2:

Como puedes observar, los términos van decreciendo, es decir, van haciéndose cada vez menores respecto a los anteriores.

Progresión geométrica alternada

Una progresión geométrica es una sucesión alternada, si su razón o constante es igual a un número menor a cero, es decir, un número negativo. En el siguiente ejemplo, la razón es de -2. Observa que aplicamos las reglas de multiplicación de los signos y esto ocasiona que los términos de la sucesión alternen entre positivo y negativo.

Fórmula para obtener una progresión geométrica

Veamos el siguiente ejemplo para explicar de dónde sacamos la fórmula de las progresión geométrica. Piensa en la progresión geométrica con raíz igual a 2 y razón igual a tres. Los primeros 7 términos de la sucesión serán los siguientes:

ahora escribimos cada término como si fuera producto del término anterior con la razón de la progresión:

Siguiendo las reglas de potencias, y escribiendo la posición que ocupa cada término en la progresión, reescribimos estas igualdades y obtenemos:

Observa la relación que hay entre la posición que ocupa el término y la potencia a la que tienes que elevar la razón de la progresión, por ejemplo: en la cuarta posición, vas a encontrar la razón elevada a la tercera potencia. Así, llegamos a la fórmula:

Escrito de forma más matemática tenemos la siguiente igualdad.

donde an denota al término en la posición n, a0 es la raíz de la progresión geométrica, r es la razón de la progresión. Esta fórmula nos permite dar el término de la progresión de cualquier posición.

Ejercicios resueltos de progresiones geométricas

por lo que la solución es 50388480.


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